Personliga referensintervall med parametrisk empirisk Bayes (PEB)

Ett populationsbaserat referensintervall, RIpop, omfattar vanligen de centrala 95 procenten av referensvärdena i en definierad population. Men det som är vanligt i populationen behöver inte vara vanligt för en viss person. Ett provsvar inom intervallet kan ha ändrats betydligt från personens tidigare nivå. En annan person kan återkommande ligga nära eller utanför en referensgräns utan att något har förändrats.

Parametrisk empirisk Bayes, PEB, väger samman personens tidigare provsvar med populationens nivå och variation. Här använder jag personligt referensintervall, RIper, för ett prediktionsintervall för nästa provsvar. Det är alltså varken ett intervall för personens skattade grundnivå eller en klinisk beslutsgräns.

Jag utgår från Røys et al. (2025), som tillämpade en PEB-modell på nio laboratorieanalyser. McIntosh och Urban (2003) har tidigare använt modellen för att följa biomarkörer över tid. Räkneexemplet är konstruerat och koncentrationsenheterna är godtyckliga.

Individuell nivå och två slags variation

För vissa analyter ligger en persons provsvar kring en relativt stabil grundnivå, ofta kallad set-point. Foy et al. (2025) visade sådan långvarig stabilitet för hematologiska parametrar hos till synes friska vuxna. Det går däremot inte att förutsätta samma stabilitet för andra analyter eller vid sjukdom.

PEB-modellen beskriver två nivåer av variation:

$$X_k\mid\mu_I\sim N(\mu_I;\sigma_I^2), \qquad \mu_I\sim N(\mu_{\mathrm{pop}};\sigma_G^2).$$

$X_k$ är personens provsvar vid tillfälle $k$ och $\mu_I$ den underliggande individuella nivån. $N(a;b^2)$ betecknar en normalfördelning med medelvärde $a$ och varians $b^2$. Modellen antar att provsvaren är oberoende givet $\mu_I$ och att den inomindividuella variansen är gemensam för personerna på den valda modellskalan.

$\sigma_G$ beskriver spridningen mellan personernas grundnivåer. $\sigma_I$ beskriver variationen mellan en persons mätningar och omfattar här både inomindividuell biologisk variation och analytisk imprecision. Det är en standardavvikelse på modellskalan. $\mathrm{CV}_I$ anger däremot enbart biologisk variation relativt medelvärdet. Under modellen gäller

$$\sigma_{\mathrm{pop}}^2=\sigma_G^2+\sigma_I^2.$$

I exemplet är $\mu_{\mathrm{pop}}=100$, $\sigma_G=12$ och $\sigma_I=9$. Populationens standardavvikelse blir då $\sigma_{\mathrm{pop}}=\sqrt{144+81}=15$. Person A antas vara frisk, med en stabil grundnivå på 131 och provsvaren 134, 126, 132, 130 och 133.

Figur 1. Mellanindividuell variation i grundnivån och inomindividuell variation i provsvaren, på samma axelskalor. Prickade linjer markerar grundnivåerna och korta blå streck person A:s fem provsvar. De två varianskomponenterna summeras till populationens totala varians. Det konstruerade exemplet använder normalfördelningar direkt på koncentrationsskalan.

RIpop blir $100\pm1{,}96\cdot15$, alltså $[70{,}6;\,129{,}4]$. Fyra av person A:s fem värden ligger över den övre gränsen, trots den stabila grundnivån. Ett ovanligt värde i populationen och en förändring hos personen är två olika saker. Ingen av jämförelserna avgör ensam om personen är frisk.

Hur population och tidigare provsvar vägs samman

Modellen utgår från fördelningen av grundnivåer i populationen, en prior. De tidigare provsvaren tillför information genom modellens likelihood. Tillsammans ger de en posterior: den uppdaterade fördelningen för $\mu_I$.

Efter $n$ tidigare prover är posteriorns medelvärde

$$\hat Y_n= \frac{\mu_{\mathrm{pop}}/\sigma_G^2+n\bar X_n/\sigma_I^2} {1/\sigma_G^2+n/\sigma_I^2} =\mu_{\mathrm{pop}}+B_n(\bar X_n-\mu_{\mathrm{pop}}),$$

där $\bar X_n$ är medelvärdet av de tidigare proverna och

$$B_n=\frac{\sigma_G^2}{\sigma_G^2+\sigma_I^2/n},\qquad n\geq1.$$

Medelvärdena vägs efter sin precision, det vill säga inversen av variansen. Med fler tidigare prover blir personens medelvärde säkrare och får större vikt $B_n$. Stor inomindividuell variation ger i stället individens data mindre vikt. Skattningen hamnar då närmare populationsmedelvärdet. Det kallas shrinkage. Individens vikt är $B_n$ och populationens är $1-B_n$.

För ett enda tidigare prov är

$$B_1=\frac{\sigma_G^2}{\sigma_{\mathrm{pop}}^2}.$$

Kvoten är modellens intraklasskorrelation: den andel av den totala variansen som finns mellan individer. Vikten efter fler prover kan skrivas som

$$B_n=\frac{B_1n}{B_1n+(1-B_1)}.$$

I exemplet är $B_1=144/225=0{,}64$. Efter det första provet, 134, blir den skattade nivån $\hat Y_1=100+0{,}64(134-100)=121{,}76$. Den ligger mellan populationsmedelvärdet och provsvaret. Efter fem prover är $B_5=0{,}899$ och $\hat Y_5=127{,}9$, trots att provseriens medelvärde är 131. För ett ändligt antal prover återstår en vikt på populationen; när $n$ växer går $B_n$ mot 1.

Figur 2. Uppdatering av fördelningen för individens grundnivå efter ett prov i det konstruerade exemplet. Priorn är $N(100;12^2)$ och likelihoodkurvan visas som funktion av $\mu_I$ för det observerade värdet 134. Posteriorn är $N(121{,}76;7{,}2^2)$. Kurvorna avser grundnivån, inte fördelningen för nästa provsvar.

I empirisk Bayes skattas populationsparametrarna ur data och behandlas sedan som fasta värden. Beräkningen ovan tar alltså inte hänsyn till osäkerheten i skattningarna. Ett stort material kan minska slumpmässig osäkerhet, men rättar inte till ett snedvridet urval eller felaktiga modellantaganden.

Prediktionsintervallet för nästa provsvar

Osäkerheten i den skattade grundnivån är posteriorvariansen

$$V_n=\left(\frac{1}{\sigma_G^2}+\frac{n}{\sigma_I^2}\right)^{-1}.$$

Nästa provsvar varierar dessutom kring grundnivån med variansen $\sigma_I^2$. Prediktionsvariansen är därför summan $\sigma_I^2+V_n$. Ett tvåsidigt, nominellt 95-procentigt prediktionsintervall blir

$$\hat Y_n\pm1{,}96\sqrt{\sigma_I^2+V_n} =\hat Y_n\pm1{,}96\,\sigma_{\mathrm{pop}}\sqrt{1-B_1B_n}.$$

Intervallet avser $X_{n+1}$ och ska beräknas innan det nya provet läggs till baslinjen. Om provet får påverka sitt eget jämförelseintervall blir bedömningen missvisande.

Täckningen gäller i genomsnitt över individer från den antagna populationsfördelningen och deras möjliga provserier. Den är inte 95 procent för varje enskild grundnivå, även om modellen stämmer. Personer långt från populationsmedelvärdet kan därför få fler flaggade resultat, särskilt när få tidigare prover gör att populationen får stor vikt.

Utan tidigare prover sätts $B_0=0$ och centrum till $\mu_{\mathrm{pop}}$. Prediktionsintervallet sammanfaller då med modellens RIpop. Med fler prover minskar osäkerheten i grundnivån, men variationen mellan provsvaren finns kvar. När $n$ blir stort går halvbredden mot $1{,}96\sigma_I$, alltså 17,64 i exemplet. För $0<B_1<1$ och $n\geq1$ är intervallet smalare än RIpop på modellskalan.

Tidigare prover, $n$	Medelvärde $\bar X_n$	Vikt $B_n$	Skattad nivå $\hat Y_n$	Intervall för nästa prov	Nästa observerade värde
0	saknas	0	100,0	70,6–129,4	134
1	134,0	0,640	121,8	99,2–144,4	126
2	130,0	0,780	123,4	102,6–144,2	132
3	130,7	0,842	125,8	105,9–145,8	130
4	130,5	0,877	126,7	107,3–146,2	133
5	131,0	0,899	127,9	108,7–147,0	saknas

Värdena är avrundade efter beräkning med full precision. Varje observerat värde jämförs med intervallet från enbart föregående prover.

Det första värdet ligger utanför RIpop. De fyra följande värdena ligger inom sina respektive personliga prediktionsintervall. Intervallets centrum förskjuts samtidigt uppåt när fler tidigare prover tillkommer.

Figur 3. Stegvisa prediktionsintervall i det konstruerade exemplet, beräknade enbart från föregående prover. Bakgrund och prov 1 delar RIpop. Det första värdet, 134, ligger över RIpop men saknar personlig bedömning och visas som en öppen ring. Steget Nästa, till höger om den prickade linjen, använder alla fem prover: skattad nivå 127,9 och prediktionsintervall 108,7–147,0. Där finns ännu inget observerat prov.

Förhållandet till referensändringsvärden

Ett traditionellt referensändringsvärde, RCV, anger hur stor skillnaden mellan två provsvar behöver vara för att överskrida förväntad inomindividuell och analytisk variation. I en additiv normalmodell med gemensam standardavvikelse $\sigma_I$ bedöms skillnaden mot $1{,}96\sqrt{2}\sigma_I$. Det motsvarar ett jämförelseband kring det första värdet.

PEB med ett tidigare prov har ett annat centrum: $\hat Y_1$, som även tar hänsyn till populationen. Halvbredden är $1{,}96\sigma_I\sqrt{1+B_1}$. I exemplet blir det traditionella bandet $134\pm24{,}95$, alltså $[109{,}1;\,158{,}9]$, medan PEB ger $[99{,}2;\,144{,}4]$. Skillnaden gäller både centrum och bredd. Förhållandet mellan halvbredderna är $\sqrt{(1+B_1)/2}=0{,}906$.

PEB förutsäger här nästa värde med hjälp av en populationsmodell. Den traditionella RCV-regeln jämför i stället två värden utifrån variationen inom individen. De ger därför olika svar. Efter det första värdet 134 skulle RCV-regeln flagga en minskning till 100, som ligger inom PEB-intervallet. Vid en ökning till 150 blir det tvärtom. Jones et al. (2024) diskuterar hur regression mot populationsmedelvärdet påverkar RCV.

Parametrar och val av beräkningsskala

Beräkningen kräver $\mu_{\mathrm{pop}}$, $\sigma_{\mathrm{pop}}$ och $B_1$ på en gemensam modellskala. Røys et al. prövade två sätt att skatta dem.

Rutindata från laboratoriets informationssystem, LIS. Först användes varje patients första resultat för att skatta en antagen icke-patologisk fördelning med refineR. Algoritmen bygger på fördelningsantaganden och identifierar inte vilka enskilda patienter som är friska (Ammer et al. 2021). Resultat utanför den skattade fördelningens centrala 99 procent uteslöts. Kvarvarande upprepade resultat med mer än 24 timmar mellan proverna transformerades med samma Box-Cox-parameter. Det senare värdet regresserades på det tidigare med robust regression; lutningen användes som skattning av $B_1$.

Data om biologisk variation, BV. Skattningar av mellanindividuell variation, $\mathrm{CV}_G$, och inomindividuell biologisk variation, $\mathrm{CV}_I$, kombinerades med laboratoriets analytiska variation, $\mathrm{CV}_A$. Oberoende variansbidrag summeras på den valda skalan. Variationskoefficienterna anger relativ spridning och bestämmer inte populationens koncentrationsnivå; den måste skattas separat. I studien återanvändes nivån från refineR och BV-beräkningen gjordes på logaritmisk skala.

Vid transformation ersätts varje observation med $g(X_k)$ innan individens medelvärde beräknas. Även populationsparametrarna och varianskomponenterna ska avse den skalan. De färdiga intervallgränserna transformeras sedan tillbaka var för sig. Vid logaritmering gäller exempelvis

$$L=\exp(\hat Y_n-h_n),\qquad U=\exp(\hat Y_n+h_n),$$

där $\hat Y_n$ och halvbredden $h_n$ nu är uttryckta på logaritmisk skala. Intervallet blir asymmetriskt på koncentrationsskalan. $\exp(\hat Y_n)$ är prediktionsfördelningens median, inte dess aritmetiska medelvärde. Ett smalare intervall på logaritmisk skala behöver inte ha mindre absolut bredd i koncentrationsenheter än RIpop om centrum förskjuts.

Konstant standardavvikelse på koncentrationsskalan och konstant relativ variation är olika antaganden. En additiv normalmodell kan ge negativa intervallgränser och passar därför sämre för koncentrationer nära noll. En logaritmisk modell kan beskriva proportionell variation. En allmän Box-Cox-transformation innebär däremot inte automatiskt konstant CV. Normalfördelning och varians behöver bedömas både mellan och inom individer. Att populationsfördelningen passar bra räcker inte för att den inomindividuella modellen ska stämma.

Coşkun et al. (2021) beskrev ett prediktionsintervall kring individens medelvärde. Det bygger på gemensamma skattningar av $\mathrm{CV}_I$ och $\mathrm{CV}_A$ samt osäkerheten i medelvärdet, utan viktning mot populationens nivå. Författarna rekommenderade minst tre tidigare prover från ett stabilt tillstånd. PEB går att beräkna efter ett tidigare prov, men ett prov räcker inte för att avgöra om personen är stabil.

Studieresultat och kalibrering

Studien omfattade nio analyter. Parametrar skattades dels från LIS-data, dels från en lokal studie av 30 friska vuxna med veckovisa prover under tio veckor. Intervallen utvärderades genom andelen resultat utanför nominella 95-procentiga gränser i dessa provserier. Steroidresultaten avsåg män.

Analyt	Antal resultat	RIpop med LIS-parametrar	RIper med LIS-parametrar	RIper med BV-parametrar
Albumin	298	4,7 %	0,3 %	5,0 %
Kreatinin	297	0,7 %	1,0 %	3,0 %
Fosfat	297	5,4 %	3,7 %	5,7 %
Kortison	127	7,1 %	3,9 %	5,5 %
Kortisol	128	3,9 %	3,1 %	16,4 %
Testosteron	127	3,1 %	2,4 %	6,3 %
Androstendion	129	2,3 %	0,8 %	5,4 %
17-hydroxiprogesteron	127	0,0 %	5,5 %	9,4 %
11-deoxikortisol	120	1,7 %	1,7 %	7,5 %

Andel resultat utanför respektive intervall, enligt originalstudiens tabell 2. För 17-hydroxiprogesteron anger tabellen 9,4 procent för BV-baserat RIper och 11,5 procent för BV-baserad RCV beräknad med PEB. Löptexten på sidan 1153 anger däremot 11,5 procent för RIper; här följs tabellen.

Valet av parameterkälla fick stor betydelse. För albumin flaggades 0,3 procent av resultaten med LIS-parametrar och 5,0 procent med BV-parametrar. Färre flaggningar är inte i sig bättre: med ett nominellt 95-procentigt intervall förväntas omkring 5 procent ligga utanför om modellen stämmer. Författarna misstänker att de låga LIS-baserade andelarna beror på att variationen är större i rutindata än vid den standardiserade BV-provtagningen.

För kortisol och 17-hydroxiprogesteron flaggade BV-intervallen fler resultat än avsett. Författarna misstänker att $\mathrm{CV}_I$ skiljer sig mellan personer. Vid BV-skattningen för kortisol hade deltagare uteslutits för att få en homogen $\mathrm{CV}_I$, vilket författarna bedömde gav betydande selektionsbias. Flaggningsandelarna räcker dock inte för att fastställa orsaken. Deltagarna var få, och upprepade prover från samma person är inte oberoende observationer.

BV-parametrarna prövades i samma material som de skattats från. Vi vet därför mindre om hur de fungerar i ett nytt material. Studien undersökte kalibrering hos friska personer och om beräkningarna gick att genomföra, inte diagnostisk sensitivitet, specificitet eller nytta för sjuka patienter. De nominella 95-procentiga gränserna gäller dessutom varje enskild prediktion, inte hela provserien tillsammans.

Förutsättningar för klinisk användning

De tidigare proverna måste representera det tillstånd man vill jämföra med. Sjukdom, behandling, ändrad provtagning eller en långsam förskjutning av grundnivån kan göra äldre värden olämpliga. Om avvikande värden hela tiden läggs till kan intervallet gradvis flyttas mot ett sjukligt tillstånd. Vilka prover som ska ingå behöver därför avgöras utifrån analyten, patienthistoriken och den kliniska frågan.

Modellen förutsätter en tillräckligt stabil grundnivå, rimlig normalfördelning på modellskalan och en tillämplig gemensam inomindividuell varians. Dygnsvariation, varierande analytisk precision och autokorrelation kan bryta mot antagandena. Ett visst tidsavstånd mellan prover garanterar inte oberoende. LIS-skattningar kan också påverkas av patologiska värden som överlappar referensfördelningen, även vid robust skattning.

Även populationsunderlaget måste passa användningen. Steroidresultaten i Røys studie kan exempelvis inte utan vidare överföras till kvinnor, och barn ingick inte. Författarna rekommenderar lokal verifiering och större kliniska valideringsstudier före införande.

PEB ger ett sätt att bedöma nästa provsvar utifrån personens tidigare värden och populationens variation. Ett värde inom intervallet utesluter inte sjukdom, och ett värde utanför är ingen diagnos. Kliniska beslutsgränser och övrig information om patienten behövs fortfarande.

I mitt verktyg för personligt referensintervall kan du pröva beräkningen. Förvalet använder BV-parametrar på logaritmisk skala. För räkneexemplet i artikeln väljer du Egna parametrar under Analys och Symmetrisk, konstant σ under Avancerat. Ange populationsnivån $\mu_{\mathrm{pop}}=100$, $\mathrm{CV}_G=12$ procent, $\mathrm{CV}_I=9$ procent och $\mathrm{CV}_A=0$. Sätt Antal till fem och fyll i provseriens värden. Inställningarna ger $\sigma_G=12$ och $\sigma_I=9$ vid populationsnivån 100. Det första provet prövas inte mot någon personlig baslinje, eftersom det ännu inte finns en sådan.

Referenser

• Røys EÅ, Viste K, Farrell C-J, et al. A Parametric Empirical Bayes Approach to Personalized Reference Intervals and Reference Change Values. Clinical Chemistry 2025;71(11):1147–1157. doi:10.1093/clinchem/hvaf092.
• McIntosh MW, Urban N. A parametric empirical Bayes method for cancer screening using longitudinal observations of a biomarker. Biostatistics 2003;4(1):27–40. doi:10.1093/biostatistics/4.1.27.
• Coşkun A, Sandberg S, Unsal I, et al. Personalized Reference Intervals in Laboratory Medicine: A New Model Based on Within-Subject Biological Variation. Clinical Chemistry 2021;67(2):374–384. doi:10.1093/clinchem/hvaa233.
• Jones GRD, Aarsand AK, Carobene A, et al. A New Concept for Reference Change Values—Regression to the Population Mean. Clinical Chemistry 2024;70(8):1076–1084. doi:10.1093/clinchem/hvae067.
• Foy BH, Petherbridge R, Roth MT, et al. Haematological setpoints are a stable and patient-specific deep phenotype. Nature 2025;637:430–438. doi:10.1038/s41586-024-08264-5.
• Ammer T, Schützenmeister A, Prokosch H-U, et al. refineR: A Novel Algorithm for Reference Interval Estimation from Real-World Data. Scientific Reports 2021;11:16023. doi:10.1038/s41598-021-95301-2.